Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x（x∈R），
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；
（2）是否存在实数t，使得不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x都成立？若存在，求t，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据g（x）为增函数，h（x）为减函数，g（x）-h（x）是增函数，然后根据奇偶性的定义进行判定即可；
（2）假设存在∵f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立，转化成

(t+ 1 2 )2≤ (x+ 1 2 ) 2 min  =0

进行求解即可．

解答：解：（1）∵f(x)=ex-

1

ex

∴ f(x)单调递增

又∵f(-x)=e-x-ex=-f(x)

∴f（x）是奇函数
（2）假设存在∵f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立

∴  f(x-t)≥-f(x2-t2)=f(t2-x2)恒成立 ∴x-t≥t2-x2 ∴(t+ 1 2 )2≤ (x+ 1 2 ) 2 min =0∴  t=- 1 2

即存在t=-

1

2

使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．