Question

已知函数f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

；
（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）证明f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
（Ⅲ）分别计算f（4）-5f（2）•g（2）和f（9）-5f（3）•g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（x）与f（-x）的关系，结合函数奇偶性的定义，即可得到答案．
（II）任取x₁＜x₂＜-1，作差判断f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义易得到结论；
（III）将4与2，9与3分别代入函数f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

及得到结论，归纳后可得结论，由函数的解析式，不难对结论进行证明．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），是关于原点对称的；
又f(-x)=

(-x) 1 3 -(-x)- 1 3

5

=

-x 1 3 +x- 1 3

5

=-f(x)
∴f（x）是奇函数．（4分）
（Ⅱ）设x₁＜x₂＜-1，则：f(x1)-f(x2)═

1

5

(x1

1

3

-x2

1

3

)(1+

1

x1 1 3 •x2 1 3

)，
∵x

1

3

-x2

1

3

＜0，

1

x1x2

＞0，(

1

x1x2

)

1

3

＞01+

1

x1 1 3 •x2 1 3

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．即f（x₁）＜f（x₂）且x₁＜x₂
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增．（8分）
（Ⅲ）算得：f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是：f（x²）-5f（x）•g（x）=0（12分）
下面给予证明：∵f（x²）-5f（x）•g（x）=

x 2 3 -x- 2 3

5

-5•

x 1 3 -x- 1 3

5

•

x 1 3 +x- 1 3

5

=

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)-

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)=0
∴f（x²）-5f（x）•g（x）=0对所有不等于零的实数x都成立．（14分）

点评：本题考查的知识点为函数的奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明及归纳推理，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键．