Question

（本小题满分14分）
给定椭圆：. 称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”. 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由.

Answer 1

解：（1），
椭圆方程为，                       ………… 4分
准圆方程为.            ……………………5分
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，
当方程为时，此时与准圆交于点，
此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线也垂直.  ………………8分
②当都有斜率时，设点，其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则由消去，得
.      ………10分
由化简整理得：. 
因为，所以有 . …11分
设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足上述方程，
所以，即垂直.                 …………………13分
综合①②知垂直.                        ……………………14分

略