题目内容
【题目】已知
为双曲线
：
的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线
，垂足为点
，与的另一条渐近线交于点
，若
，则的离心率为（ ）
A.2B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
根据
列方程，求得
，由此求得
，进而求得椭圆的离心率.
依题意
，双曲线的渐近线方程为
或
.不妨设过
作
的一条渐近线的垂线
，垂足为点
，与的另一条渐近线交于点
，如下图所示.
点到渐近线即
的距离为
.所以
.由于，
所以
.设
，则
，
即
，即
，解得
（负根舍去），
即
，所以
.故C选项正确.
依题意，双曲线的渐近线方程为或.不妨设过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，如下图所示.
点到渐近线即的距离为.所以.
由于，所以.所以
.
根据双曲线渐近线的对称性可知：
，所以
，
此时
，即
不符合题意.
故选：C
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