Question

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

a

24

对一切正整数n都成立，
（1）猜想正整数a的最大值，
（2）并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

（1）当n=1时，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

3+1

＞

a

24

，即

26

24

＞

a

24

，
所以a＜26，
a是正整数，所以猜想a=25．
（2）下面利用数学归纳法证明

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

，
①当n=1时，已证；
②假设n=k时，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

，
则当n=k+1时，
有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3(k+1)+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+[

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

]
因为

1

3k+2

+

1

3k+4

=

6(k+1)

9k2+18k+8

＞

2

3(k+1)

所以

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

＞0，
所以当n=k+1时不等式也成立．
由①②知，对一切正整数n，都有

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

，
所以a的最大值等于25．…（14分）