Question

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程．

Answer 1

解：(1)方法1：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9.

②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为

l₁：y－2＝k(x－6)，

l₂：y＋1＝k(x＋3)，

即l₁：kx－y－6k＋2＝0，l₂：kx－y＋3k－1＝0.

∴d＝＝，

即(81－d²)k²－54k＋9－d²＝0.

∵k∈R，且d≠9，d>0，

∴Δ＝54²－4(81－d²)(9－d²)≥0，

即0<d≤3且d≠9.

综合①②可知，所求的d的变化范围为(0,3]．

图4

方法2：如图4所示，

显然有0<d≤|AB|.

而|AB|＝

＝3.

故所求的d的变化范围为(0,3]．

(2)由图4可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.

而k_AB＝＝，

∴所求的直线的斜率为－3.

故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.