Question

已知椭圆的中心在原点，焦点为F₁（0，-2

2

），F₂（0，2

2

），且离心率e=

2 2

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为-

1

2

，求直线l倾斜角的取值范围．

Answer 1

（I）设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)，
由题意得c=2

2

，e=

c

a

=

2 2

3

，所以a=3，
b²=a²-c²=1，
所以椭圆的方程为x2+

y2

9

=1；
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2+ y2 9 =1

得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0，
则△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即k²-m²+9＞0①，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

2km

k2+9

，
因为线段AB中点的横坐标为-

1

2

，所以2×（-

1

2

）=-

2km

k2+9

，
化简得k²+9=2km，所以m=

k2+9

2k

②，
把②代入①整理得k⁴+6k²-27＞0，解得k＜-

3

或k＞

3

，
所以直线l倾斜角的取值范围为k＜-

3

或k＞

3

．