Question

如图，已知点P是边长为1的正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，点E为PD中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求异面直线PB与AC所成的角的取值范围．

Answer 1

分析：（1）连结BD交AC于O点，连结EO，根据OE是三角形PBD的中位线可得EO∥PB，再利用直线和平面平行的判定定理证得 PB∥平面ACE．
（2）设PA=x，求得PB=PD=

x2+1

，AE=

1

2

PD=

x2+1

2

，OE=

1

2

PB=

x2+1

2

，可得△AEO为等腰三角形，且∠EAO=∠EOA．由此可得∠EOA即为异面直线PB与AC所成的角．取OA的中点M，在Rt△EMO中，求得cos∠EOA=

OM

OE

 的范围，可得直线PB与AC所成的角的取值范围．

解答：（1）证明：连结BD交AC于O点，连结EO，
因为点E为PD中点，点O为BD中点，故OE是三角形PBD的中位线．
所以EO∥PB，又PB不在平面ACE上，
EO在平面ACE内，所以PB∥平面ACE． …（6分）
（2）解：设PA=x，则PB=PD=

x2+1

，
在Rt△PAD中，AE是其中线，AE=

1

2

PD=

x2+1

2

，
在△PBD中，OE是其中位线，OE=

1

2

PB=

x2+1

2

，
所以△AEO为等腰三角形，且∠EAO=∠EOA．…（8分）
∵EO∥PB，则∠EOA即为异面直线PB与AC所成的角．…（10分）
取OA的中点M，则EM⊥AO，在Rt△EMO中，
cos∠EOA=

OM

OE

=

2 4

x2+1 2

=

1

2 • x2+1

，（x＞0）．
∵x²+1＞1，∴cos∠EOA＜

2

2

，

π

4

＜∠EOA＜

π

2

，
所以异面直线PB与AC所成的角的取值范围是(

π

4

，

π

2

)．…（12分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，异面直线所成的角的定义和求法，属于中档题．