Question

设a为实数，函数f（x）=x²+|x－a|+1，x∈R.

（1）讨论f（x）的奇偶性；

（2）求f（x）的最小值.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）当a=0时，函数f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数. 当a≠0时，f（a）=a2+1，f（－a）=a2+2|a|+1，f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）. 此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数 （2）①当x≤a时，函数f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+. 若a ≤，则函数f（x）在（－∞，a］上单调递减，从而，函数f（x）在（－∞，a］上的最小值为f（a）=a2+1. 若a＞，则函数f（x）在（－∞，a上的最小值为f（）=+a，且f（）≤ f（a）. ②当x≥a时，函数f（x）=x2+x－a+1=（x+）2－a+. 若a≤－，则函数f（x）在［a，+∞上的最小值为f（－）=－a，且f（－）≤f（a）. 若a＞－，则函数f（x）在［a，+∞）上单调递增，从而，函数f（x）在［a，+∞）上的最小值为f（a）=a2+1. 综上，当a≤－时，函数f（x）的最小值是－a. 当－＜a≤时，函数f（x）的最小值是a2+1. 当a＞时，函数f（x）的最小值是a+.