Question

设a为实数，函数f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f'（x）≥0在（-∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．

解答：解：f'（x）=3x²-2ax+（a²-1），其判别式△=4a²-12a²+12=12-8a²．
（ⅰ）若△=12-8a²=0，即a=±

6

2

，当x∈（-∞，

a

3

），或x∈（

a

3

，+∞）时，
f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）为增函数．
所以a=±

6

2

．
（ⅱ）若△=12-8a²＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）为增函数，
所以a²＞

3

2

，
即a∈（-∞，-

6

2

）∪（

6

2

，+∞）
（ⅲ）若△12-8a²＞0，即-

6

2

＜a＜

6

2

，
令f'（x）=0，
解得x₁=

a- 3-2a2

3

，x₂=

a+ 3-2a2

3

．
当x∈（-∞，x₁），或x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x₁≥0且x₂≤1．
由x₁≥0得a≥

3-2a2

，解得1≤a＜

6

2

由x₂≤1得

3-2a2

≤3-a，解得-

6

2

＜a＜

6

2

，从而a∈[1，

6

2

）
综上，a的取值范围为（-∞，-

6

2

]∪[

6

2

，+∞）∪[1，

6

2

），
即a∈（-∞，-

6

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．