Question

（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；

（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.

Answer 1

（1），（2）（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．

∵长轴长为,离心率，∴．

所求椭圆方程为．

（Ⅱ）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，所以直线的方程为．

设，

由 得 ，解得 ．

∴ ．

（Ⅲ）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为．

由 可得．

∴．，

因为以为邻边的平行四边形是矩形.

由得，

.所求直线的方程为．

考点：本题考查直线与椭圆的位置关系

点评：由已知条件可直接得到a,b，求出椭圆方程，求三角形面积要先用弦长公式，求出弦长，平行四边形为矩形，用向量点乘积为0，算出k