Question

【题目】已知函数，其中，．是自然对数的底数．

（1）求曲线在处的切线方程为，求实数，的值；

（2）①若时，函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

②若，，若对一切正实数恒成立，求实数的取值范围（用表示）．

Answer 1

【答案】（1），．（2）①，②

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得，求函数导数得等量关系，再根据切点既在切线上也在曲线上得，解方程组得实数，的值（2）①先求函数导数得，转化为方程有两个零点，再利用导数研究函数单调性变化规律：上减，上减增，即时取最小值，因此，最后列表分析证明，②先化简不等式，再探求实数的取值范围：取得．由于，，所以，因此时不等式恒成立

试题解析：（1）由题意知曲线过点，且；

又因为，

则有解得，．

（2）①当时，函数的导函数，

若时，得，

设（），

由，得，．

当时，，函数在区间上为减函数，；

仅当时，有两个不同的解，设为，（）．

		极大值		极小值

此时，函数既有极大值又有极小值．

②由题意对一切正实数恒成立，

取得．

下证对一切正实数恒成立．

首先，证明，设函数，则，

当时，；当时，；得，即，

当且仅当都在处取到等号．

再证，设，则，当时，；

当时，；得，即，

当且仅当都在处取到等号．

由上可得，所以，

所以．