Question

（2012•静安区一模）在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱BC的中点，F为棱DD₁的中点．则异面直线EF与BD₁所成角的余弦值是（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  2 2

  3

• C．

  3

  4

• D．

  3

  6

Answer 1

分析：以AB、AD、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，可得B、D₁、E、F各点的坐标，从而得到

BD1

和

EF

的长度和数量积，利用空间向量的夹角公式求出它们所成角的余弦，即可得到异面直线EF与BD₁所成角的余弦值．

解答：解：以AB、AD、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则B（1，0，0），D₁（0，1，1），E（1，

1

2

，0），F（0，1，

1

2

）
∴

BD1

=（-1，1，1），

EF

=（-1，

1

2

，

1

2

）
可得

|BD1|

=

3

，

|EF|

=

6

2

BD1

•

EF

=（-1）×（-1）+1×

1

2

+1×

1

2

=2
设异面直线EF与BD₁所成角为θ，则cosθ=|

BD1 • EF

|BD1| • |EF|

|=

2 2

3

故选B

点评：本题在正方体中求两条异面直线所成角的余弦值，着重考查了利用空间坐标系求向量的长度和夹角等知识，属于基础题．