Question

15．函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x的最小正周期是π，单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，（k∈Z）．

Answer 1

分析 利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数的单调递增区间．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
可得函数的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，（k∈Z），
故答案为：π，[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，（k∈Z）．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质以及周期公式的应用，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键，属于基础题．