Question

20．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3$\sqrt{3}$km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．
（1）当AM=$\frac{3}{2}$km时，求防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

分析 （1）证明△OAN为正三角形，可得△OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km；
（2）设∠AOM=θ，在△AOM和△AON中使用正弦定理求出OM，ON，得出△OMN 的面积关于θ的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值．

解答 解：（1）∵OA=3km，OB=3$\sqrt{3}$km，∠AOB=90°，∴A=60°，AB=6．
在△OAM中，由余弦定理得：OM²=OA²+AM²-2OA•AM•cosA=$\frac{27}{4}$．
∴OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
由正弦定理得：$\frac{AM}{sin∠AOM}=\frac{OM}{sinA}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{sin∠AOM}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴sin∠AOM=$\frac{1}{2}$．∴A=30°．
∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°．
∴△OAN是等边三角形．
∴△OAN的周长C=3OA=9．
∴防护网的总长度为9km．
（2）设∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），则∠AON=θ+30°，∠OMA=120°-θ，∠ONA=90°-θ．
在△OAM中，由正弦定理得$\frac{OM}{sinA}=\frac{OA}{sin∠OMA}$，即$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{3}{sin（120°-θ）}$=$\frac{3}{sin（60°+θ）}$．
∴OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2sin（60°+θ）}$，
在△AON中，由正弦定理得$\frac{ON}{sinA}=\frac{OA}{sin∠ONA}$，即$\frac{ON}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{sin（90°-θ）}$=$\frac{3}{cosθ}$，
∴ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}OM•ON•sin∠MON$=$\frac{27}{16cosθsin（θ+60°）}$=$\frac{27}{8sin（2θ+60°）+4\sqrt{3}}$．
∴当且仅当2θ+60°=90°，即θ=15°时，△OMN的面积取最小值为$\frac{27}{8+4\sqrt{3}}$=$\frac{27（2-\sqrt{3}）}{4}$km²．

点评 本题考查利用数学知识解决三角形问题，考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．