题目内容

已知方程 $数学公式$
（1）当a=0时，求方程 $数学公式$ 的各个实根；
（2）若方程 $数学公式$ 均在直线y=x的同侧，求实数a的取值范围．

解：（1）当a=0时， $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ，
函数 $\text{[math]}$ 的图象相交于两点（2，2），（-2，-2）
函数y=x³与y=x的图象相交于两点（1，1），（-1，-1）
①当a=0时，点 $\text{[math]}$ 的直线y=x的异侧
②当a＜0时，要使f（x）=x³+a与 $\text{[math]}$ 的两个交点在同直线y=x的右侧，
需满足 $\text{[math]}$ ；
当a＞0时，要使f（x）=x³+a与 $\text{[math]}$ 的两个交点在同直线y=x的左侧

需满足 $\text{[math]}$
所以满足条件的a的取值范围是（-∞，-6∪（6，+∞）
分析：（1）将a=0代入方程得， $\text{[math]}$ ，从而解得方程的根；
（2）由题意 $\text{[math]}$ ，利用函数图象的特征解决问题，先对a进行分类讨论：①当a=0时，点 $\text{[math]}$ 的直线y=x的异侧；②当a＜0时，要使f（x）=x³+a与 $\text{[math]}$ 的两个交点在同直线y=x的右侧得出关于a的不等关系；当a＞0时，要使f（x）=x³+a与 $\text{[math]}$ 的两个交点在同直线y=x的左侧
得出关于a的不等关系，最后解不等式组即可得出满足条件的a的取值范围．
点评：本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、方程式的解法等基础知识，考查运算方程与函数的数学思想、分类讨论的数学思想、数形结合思想．属于基础题．