题目内容
2．在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
分析 （Ⅰ）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，两边平方整理即可得到所求轨迹E的方程；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，求得C，D的坐标，由△OAC的面积与△OBD的面积相等?|AC|=|BD|恒成立?线段AB的中点和线段CD中点重合．运用中点坐标公式，解方程可得k的值，即可判断存在．
解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），由题意可得$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
两边平方可得x2+y2-2x+1=$\frac{1}{2}$（x2-4x+4），
即有$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1，
可得轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（2k2-m2+1），
由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
由题意可设C（-$\frac{m}{k}$，0），D（0，m），
△OAC的面积与△OBD的面积相等?|AC|=|BD|恒成立
?线段AB的中点和线段CD中点重合．
即有-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{m}{k}$，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即存在定值k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，对于满足条件的m≠0，且|m|＜$\sqrt{2}$
的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等．
点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | ex≥x+1 | B． | ln（x+2）-ln（x+1）$＜\frac{1}{x+1}$ | ||
| C． | $\frac{2}{π}$x+cosx≥1+sinx | D． | cosx≥1-$\frac{1}{2}$x2 |