Question

14．2015年中国汽车销售遇到瓶颈，各大品牌汽车不断加大优惠力度．某4S店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”（即个数数字小于十位数字，十位数字小于百位数字）．若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠．
（1）试写出所有个位数字为4的“三位递减数”；
（2）若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X的分布列及数字期望EX．

Answer 1

分析 （1）利用列出法能求出个位数字为4的“三位递减数”．
（2）由题意，不同的“三位递减数”共有$C_{10}^3=120$个，小明得到的优惠金额X的取值可能为5，3，1，由此能求出他得到的优惠金额X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）个位数字为4的“三位递减数”有：
984，974，964，954，874，864，854，764，754，654，共10个．…（4分）
（2）由题意，不同的“三位递减数”共有$C_{10}^3=120$个．…（5分）
小明得到的优惠金额X的取值可能为5，3，1．
当X=5时，三个数字之和的可能为20或10，
当三个数字之和为20时，有983，974，965，875，共4个“三位递减数”；
当三个数字之和为10时，有910，820，730，721，640，631，541，532，共8个“三位递减数”，
所以$P（X=5）=\frac{4+8}{120}=\frac{1}{10}$．…（7分）
当X=3时，三个数字之和只能被2整除，
即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”，
故$P（X=3）=\frac{C_5^3+C_5^2C_5^1-12}{120}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$．…（9分）
故$P（X=1）=1-P（X=5）-P（X=3）=1-\frac{1}{10}-\frac{2}{5}=\frac{1}{2}$．…（10分）
所以他得到的优惠金额X的分布列为

X	5	3	1
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{2}$

…（11分）
数学期望$EX=5×\frac{1}{10}+3×\frac{2}{5}+1×\frac{1}{2}=2.2$（万元）．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．