Question

16．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.（α∈R，α$为参数），曲线C₂的极坐标方程为$ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ-5=0$．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C₁上一点，Q曲线C₂上一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$消去参数α，得曲线C₁的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，得到曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设P（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），利用点到直线的距离公式，即可求|PQ|的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$消去参数α，得曲线C₁的普通方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
由$ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ-5=θ$得，曲线C₂的直角坐标方程为$x-\sqrt{2}y-5=0$．
（2）设P（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），则
点P到曲线C₂的距离为$d=\frac{{|{2\sqrt{2}cosα-2\sqrt{2}sinα-5}|}}{{\sqrt{1+2}}}=\frac{{|{4cos（{α+\frac{π}{4}}）-5}|}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{5-4cos（{α+\frac{π}{4}}）}}{{\sqrt{3}}}$．
当$cos（{α+\frac{π}{4}}）=1$时，d有最小值$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以|PQ|的最小值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．