Question

已知实数x满足x+

x

≤a(3x+1)恒成立，则实数a的最小值为

1

2

．

Answer 1

分析：不等式x+

x

≤a(3x+1)恒成立，分离参数，再利用换元法，构造函数，利用判别法确定函数的最大值，从而可求实数a的最小值．

解答：解：设

x

=t（t≥0），则原不等式可化为：t²+t≤a（3t²+1），
即a≥

t2+t

3t2+1

，
设y=

t2+t

3t2+1

（t≥0），则t²+t=3yt²+y，
即（3y-1）t²-t+y=0，∴△=1-4（3y-1）y≥0，
∴-

1

6

≤y≤

1

2

．∴y的最大值为

1

2

，
由于a≥

t2+t

3t2+1

恒成立，∴a≥

1

2

，
则实数a的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查恒成立问题，涉及到两个变量，一般都是把它变成一个变量去考虑的，属于中档题．