题目内容

已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA•tanC=2+ $数学公式$ ，又知顶点C的对边c上的高等于4 $数学公式$ ，求△ABC的三边a、b、c及三内角．

解：由A、B、C成等差数列，可得B=60°，
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得 tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）．
设tanA、tanC是方程x²-（ $\text{[math]}$ +3）x+2+ $\text{[math]}$ =0的两根，解得x₁=1，x₂=2+ $\text{[math]}$ ．
设A＜C，则tanA=1，tanC=2+ $\text{[math]}$ ，∴A= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$ ．
∵边c上的高等于4 $\text{[math]}$ ，∴sinB= $\text{[math]}$ ，∴a=8．
由此利用正弦定理求得b=4 $\text{[math]}$ ，c=4 $\text{[math]}$ +4．
分析：先求得B=60°，再由tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，以及tanA•tanC=2+ $\text{[math]}$ ，求得tanA+tanC的值，从而求得tanA和tanC的值，进而求得A、C的值，由边c上的高等于4 $\text{[math]}$ 求得a，
再由正弦定理求得b、c的值．
点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直角三角形中的边角关系，正弦定理的应用，属于中档题．