Question

（本题满分15分）如图，已知长方形中，,为的中点. 将沿折起，使得平面平面.

（1）求证：  

（2）点是线段上的一动点，当二面角大小为时，试确定点的位置.

           

Answer 1

(本题满分15分)

解法一 （1）由于,则,……………………2分

又平面平面，平面平面=,平面,故平面.                                    ………………………4分

   又平面,从而有.              ………………………8分

(2)过点E作MB的平行线交DM于F，由平面得平面ADM; 在平面ADM中过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则即为二面角的

平面角，为.               …………………………………………………………11分

   设，则在中，

由,则.

由.

                                               ………………………………13分

故当E位于线段DB间，且时，二面角大小为

                                               ………………………………15分

解法二.取AM的中点O，AB的中点B，则两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图.根据已知条件，得

,,,  ………2分

（1）由于,……………………………………4分

则,故.……………………6分

(2)设存在满足条件的点E,并设，

则

则点E的坐标为.（其中）……………………8分

易得平面ADM的法向量可以取，……………………………………9分

设平面AME的法向量为，则,

则

则，取         …………11分

由于二面角大小为，则     

，由于，故解得.………………13分

故当E位于线段DB间，且时，二面角大小为

                                                    ……………………15分