Question

（2012•广安二模）已知向量

a

=(2cos2x+t，

3

)，

b

=(1，sin2x)，函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

4

]时，f（x）有最大值4，求实数t的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+

π

6

）+t+1，由此求出它的周期，再由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的单调递增区间．
（2）当x∈[0，

π

4

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，由此求得t+2≤f（x）≤t+3，再由最大值为4，可得 t+3=4，从而求得t的值．

解答：解：（1）函数f（x）=

a

•

b

=2cos²x+t+

3

sin2x=1=cos2x+1+t+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+t+1．
故它的最小正周期为

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）当x∈[0，

π

4

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，∴1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
∴t+2≤f（x）≤t+3．
由于（x）有最大值4，故 t+3=4，t=1．

点评：本题主要考查两个向量数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，三角函数的周期性和求法，属于中档题．