Question

已知函数f（x）=

2x-1 1-x

，若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）记y=g（x）的定义域为A，不等式x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0的解集为B．若A是B的真子集，求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据函数的对称性，在y=g（x）的图象上任取一点P，P关于原点的对称点P′在y=f（x）的图象上，求出g（x）的解析式；
（2）求出g（x）的定义域A，不等式的解集B，根据A是B的真子集，求出a的取值范围．

解答： 解：（1）在函数y=g（x）的图象上任取一点P（x，y），
则P关于原点的对称点P′（-x，-y）在y=f（x）的图象上，（2分）
∴-y=

2(-x)-1 1-(-x)

=

-2x-1 x+1

，
即g（x）=-

-2x-1 x+1

；（6分）
（直接写出解析式无过程，扣2分）
（2）∵g（x）=-

-2x-1 x+1

，
∴-

2x+1

x+1

≥0，
解得-1＜x≤-

1

2

，
即A=（-1，-

1

2

]；（8分）
解不等式x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0，?
得a-1≤x≤a，
即B=[a-1，a]；（11分）
又∵A是B的真子集，
∴

a-1≤-1 a≥- 1 2

，
解得-

1

2

≤a≤0．（14分）

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，集合的运算问题，是中档题．