题目内容
若函数f（x）=（a-3）x-ax3在区间[-1，1]上的最小值等于-3，则实数a的取值范围是（ ）
| A、（-2，+∞） | ||
B、[-
| ||
C、[-
| ||
| D、（-2，12] |
分析：由函数f（x）=（a-3）x-ax3在区间[-1，1]上的最小值等于-3，由函数解析式先求其导函数，进而可判断函数在区间[-1，1]上的单调性，从而可求函数的最小值，即可
解答：解：由函数f（x）=（a-3）x-ax3 求导函数为：f′（x）=-3ax2+（a-3），
①当a=0时，f（x）=-3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=-3，符合题意，
所以a=0符合题意；
②当a≠0时，f‘（x）=0，即 3ax2=a-3
（I）当0＜a≤3时，f′（x）=-3ax2+（a-3）为开口向下的二次函数，且△=12a（a-3）≤0，f‘（x）≤0恒成立
所以函数f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f（1）=-3，此时符合题意；
（II）当a＜0或a＞3时，f′（x）=0，即 3ax2=a-3
解得：x=
或x=-
，
①当-
≥-1 且
≤1，即a≤-
时，
函数f（x）在[-1，-
]上单调递增，在[-
上单调递减，在[
.1]上单调递增，
所以此时函数在定义域的最小值为f（-1）=-3或f（-
）=
(2-
) 令f(-
＞-3
解得：a∈φ
② 当-
＜-1 且
＞1，
即-
≤a≤12时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f（1）=-3，符合题意．
综上所述：当即-
≤ a≤12 时符合题意．
故选B
①当a=0时，f（x）=-3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=-3，符合题意，
所以a=0符合题意；
②当a≠0时，f‘（x）=0，即 3ax2=a-3
（I）当0＜a≤3时，f′（x）=-3ax2+（a-3）为开口向下的二次函数，且△=12a（a-3）≤0，f‘（x）≤0恒成立
所以函数f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f（1）=-3，此时符合题意；
（II）当a＜0或a＞3时，f′（x）=0，即 3ax2=a-3
解得：x=
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①当-
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| 3 |
| 2 |
函数f（x）在[-1，-
|
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所以此时函数在定义域的最小值为f（-1）=-3或f（-
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| 2a |
| 3 |
|
解得：a∈φ
② 当-
|
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即-
| 3 |
| 2 |
综上所述：当即-
| 3 |
| 2 |
故选B
点评：此题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了学生在函数字母的不等式分类讨论思想及学生的计算能力．
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