Question

（2010•泰安一模）已知非零向量

a

，

b

满足：|

a

|=2|

b

|，若函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x在R上有极值，设向量

a

，

b

的夹角为θ，则cosθ的取值范围为（　　）

• A．[

  1

  2

  ，1]
• B．（

  1

  2

  ，1]
• C．[-1，

  1

  2

  ]
• D．[-1，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：根据函数f（x）在R上有极值，则f'（x）=0有解，将条件转化为平面向量的数量积进行运算．

解答：解：因为函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x在R上有极值，则f'（x）=0有解．f'（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

，由f'（x）=0，得f'（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

=0，
所以判别式△＞0．即|

a

|²-4

a

•

b

＞0，即|

a

|²＞4

a

•

b

=4|

a

||

b

|cosθ．即|

a

|²＞2|

a

|²cosθ．所以cosθ＜

1

2

，即-1≤cosθ＜

1

2

，
即cosθ的取值范围为[-1，

1

2

）．
故选D．

点评：本题考查函数的导数与极值之间的关系以及平面向量数量积的应用．