Question

【题目】如图,矩形和梯形所在平面互相垂直,,,.

（1）求证:平面;

（2）当的长为何值时,直线与平面所成角的大小为45°?

Answer 1

【答案】(1)答案见解析(2)

【解析】

（1）（法一）以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为建系.根据三角形相似可得,故由勾股定理可知.求得面的法向量，再由向量的数量积求得，可得证；

（法二）由矩形和梯形的几何性质得出线线平行，再由面面平行的判定定理可证得面面，由面面平行的性质可得证；

（2）由（1）可得面BCE的法向量，由线面角的向量计算方法建立方程可求得.

(1)(法一)如图,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为建系.

设,由,,,依据三角形相似可得,故由勾股定理可知.

在中,可得.

所以各点坐标为.

,设面的法向量为,所以,

化简得,令得，得,故.

又不在面上,所以面.

(法二)

因为矩形,故.又,且,,

在面上,在面上,故面面.

又在面上，且不在面上,故面.

(2)，

设面法向量为,所以,化简得,令,得.

由题得.

故,因为为正,所以.