Question

【题目】已知椭圆经过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条互相垂直的弦分别与椭圆交于点，求点到直线距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意结合解出，后，即可得解；

（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程得，，由化简可得，进而可得直线方程为，由直线过定点即可得点到直线距离的最大值为；当直线斜率不存在时，设其方程为，求出n后即可得点到直线的距离；即可得解.

（1）由题意，得，结合，得，，

所以椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，

代入椭圆方程，整理得，

由得，

设，，则，，

因为，所以，所以，

即，

其中，

，

代入整理得，即，

当时，直线过点，不合题意；

所以，此时满足，

则直线的方程为，直线过定点，

所以当时，

点到直线的最大距离；

当直线的斜率不存在时，设其方程为，由，，

代入可得，

结合可得或（舍去），

当时，点到直线的距离为，

综上，点到直线的最大距离为.