Question

【题目】如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”.

（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；

（2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点；

（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线，所成夹角是否相等？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）联立直线和椭圆方程，由，得直线是椭圆的切线；（2），得. ，得，过点的切线为，得，证得点是线段的中点；（3）的方向向量，，，记与的夹角，与的夹角，，，所以，有，从而有与直线，所成的夹角相等.

试题解析：

（1）由点在椭圆上，有， 在直线上

当时，由，得，直线方程为，代入椭圆方程得，得一个交点，直线是椭圆切线.

当时，有，直线为代入椭圆方程得，有，直线是椭圆切线.

另解：不讨论将椭圆方程化为，将直线方程代入消，得到的一元二次方程，然后证明

（2）点不在坐标轴上，，得. ，得

过点的切线为，得.由，得，从而有，点是线段的中点.

（3）,,的方向向量，.，，，，记与的夹角，与的夹角.

，

，

所以，有，从而有与直线，所成的夹角相等.