Question

如图，已知三棱柱A₁B₁C₁—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.
(1)求点A到平面B₁BCC₁的距离；
(2)当AA₁多长时，点A₁到平面ABC与平面B₁BCC₁的距离相等.

Answer 1

(1)所求距离为2     (2)当AA₁=时满足条件.

(1)∵BB₁⊥A₁E，CC₁⊥A₁F，BB₁∥CC₁
∴BB₁⊥平面A₁EF
即面A₁EF⊥面BB₁C₁C
在Rt△A₁EB₁中，
∵∠A₁B₁E=45°，A₁B₁=a
∴A₁E=a,同理A₁F=a,又EF=a，∴A₁E=a
同理A₁F=a,又EF=a
∴△EA₁F为等腰直角三角形，∠EA₁F=90°
过A₁作A₁N⊥EF，则N为EF中点，且A₁N⊥平面BCC₁B₁
即A₁N为点A₁到平面BCC₁B₁的距离
∴A₁N=
又∵AA₁∥面BCC₁B，A到平面BCC₁B₁的距离为
∴a=2，∴所求距离为2
(2)设BC、B₁C₁的中点分别为D、D₁，连结AD、DD₁和A₁D₁，则DD₁必过点N，易证ADD₁A₁为平行四边形.
∵B₁C₁⊥D₁D,B₁C₁⊥A₁N
∴B₁C₁⊥平面ADD₁A₁
∴BC⊥平面ADD₁A₁
得平面ABC⊥平面ADD₁A₁，过A₁作A₁M⊥平面ABC，交AD于M，
若A₁M=A₁N，又∠A₁AM=∠A₁D₁N，∠AMA₁=∠A₁ND₁=90°
∴△AMA₁≌△A₁ND₁,∴AA₁=A₁D₁=,即当AA₁=时满足条件.