Question

在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求

an

an+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）分别令n=2，3代入a_n+1=-a_n+3ⁿ，即可求得a₂，a₃的值；
（2）由a_n+1=-a_n+3ⁿ，变形得a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），得到数列{a_n-

3n

4

}是等比数列，根据等比数列通项公式的求法，可求得该数列的通项公式，进而可以求出数列{a_n}的通项公式；
（3）将（2）求得的结果代入，对n分奇偶讨论，借助数列的单调性即可求得

an

an+1

的最大值．

解答：解：（1）由a₁=0，且a_n+1=-a_n+3n（n=1，2，3）
得a₂=-a₁+3=3，
a₃=-a₂+3²=6．
（2）由a_n+1=-a_n+3ⁿ变形得
a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），
∴{a_n-

3n

4

}，是首项为a₁-

3

4

=-

3

4

公比为-1的等比数列
∴a_n-

3n

4

=-

3

4

（-1）^n-1
∴a_n=

3n

4

+（-1）ⁿ•

3

4

（n=1，2，3…）
（3）①当n是偶数时

an

an+1

=

3n 4 + 3 4

3n+1 4 - 3 4

=

3n+3

3n+1-3

=

1

3

+

4

3n+1-3

∴

an

an+1

随n增大而减少
∴当n为偶数时，

an

an+1

最大值是

1

2

．
②当n是奇数时

an

an+1

=

3n 4 - 3 4

3n+1 4 + 3 4

=

3n-3

3n+1+3

=

1

3

-

4

3n+1+3

∴

an

an+1

随n增大而增大且

an

an+1

=

1

3

-

4

3n+1+3

＜

1

3

＜

1

2

综上

an

an+1

最大值为

1

2

．

点评：此题是个难题．考查根据数列的递推公式求数列的指定项和构造法求数列的通项公式，体现了转化的思想．特别是（3）的设置，增加了题目的难度，对n分奇偶讨论，体现了讨论的思想方法，并根据数列的单调性求数列的最值．