Question

【题目】已知函数是奇函数，.

（1）求a的值

（2）判断函数在上的单调性，说明理由；

（3）若任意，不等式总成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）单调递增；见解析；（3）

【解析】

（1）根据奇偶性可得定义域关于原点对称,再求出函数的定义域求解,

（2）设任意,且,利用定义法证明函数单调性即可.

(3) 由题意知,时恒成立,再根据单调性求的最小值即可.

（1）∵是奇函数,∴定义域关于原点对称,

由,得.

令,得,,∴,解得.

(2) 函数在上的单调递增.

令,设任意,且,

则,

∵,∴,,,

∴,即.

所以对任意,且

由函数在定义域内是单调递减函数，则

所以，即

∴在上为增函数.

（3）由题意知,时恒成立,

令,,由（1）知在上为增函数,

又在上也是增函数,故在上为增函数,

∴的最小值为,

∴,故实数的范围是.