题目内容
定义：若对于给定区间D内任意的实数x1和x2都有f(
)≥
[f(x1)+f(x2)]，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数。上凸函数有如下的性质：
若在上凸函数f(x)的图象上依次取n个(n≥3)点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），则凸n边到P1P2P3…Pn的生心G（
，
）必在函数y=f(x)的图象下方或图象上。
运用上述定义或性质证明。
（1）f(x)=lgx在区间（0，+∞）上是上凸函数；
（2）设x1，x2，…，xn为正实数，则
≥
。
答案：
解析：
解析：
证明：（1）设x1，x2，…，xn为正实数，则 f( =1g =1g =1g ∵x1，x2，…，xn为正实数， ∴x1+x2≥2 又y=f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴lg( ∴f( 根据定义，函数y=1gx是区间（0，+∞）上的上凸函数。 （2）由（1）知，f(x)=1gx在区间（0，+∞）上是上凸函数。 设P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），依次是上凸y=1gx上的n个（n≥3）点，根据上凸函数的性质，有 f( 即1g 亦即1g 因为y=1gx在（0，+∞）上是增函数， 所以 |
)－
[f(x1)+f(x2)]
－
(1gx1+1gx2)
－1g
，即
≥1。
)≥0，
)≥
[f(x1)+f(x2)]，
)≥
[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]，
≥
1g(x1x2…xn)，
≥1g
。
≥
。
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)≥
[f(x1)+f(x2)]，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数。上凸函数有如下的性质：
，
）必在函数y=f(x)的图象下方或图象上。
≥
。
)≥
［f(x1)+f(x2)］,则称函数f(x)是区间D上的上凸函数.上凸函数有如下的性质:
)必在函数y=f(x)的图象下方或图象上.
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