题目内容
定义:若对于给定区间D内任意的实数x1和x2,都有f(
)≥
［f(x1)+f(x2)］,则称函数f(x)是区间D上的上凸函数.上凸函数有如下的性质:若在上凸函数f(x)的图象上依次取n个(n≥3)点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),则凸n边到P1P2P3…Pn的重心G(
)必在函数y=f(x)的图象下方或图象上.
运用上述定义或性质证明.
(1)f(x)=lgx在区间(0,+∞)上是上凸函数;
(2)设x1,x2,…,xn为正实数,则
.
解析：第(1)小题可根据上凸函数的定义证明;?第(2)?小题需要先构造一个上凸函数〔可利用第(1)小题的结论〕,然后再根据上凸函数的性质加以证明.
证明：(1)设x1,x2,…,xn为正实数,则
f()［f(x1)+f(x2)］=lg (lgx1+lgx2)=lg
=lg
.
∵x1,x2,…,xn为正实数,
∴x1+x2≥
,即
≥1.
又y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴lg(
)≥0.
∴f(
)≥
［f(x1)+f(x2)］.
根据定义,函数y=lgx是区间(0,+∞)上的上凸函数.
(2)由(1)知,f(x)=lgx在区间(0,+∞)上是上凸函数.
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)依次是上凸函数y=lgx上的n个(n≥3)点,根据上凸函数的性质,有
［f(x1)+f(x2)+…+f(xn)］,
即
lg(x1x2…xn),
亦即
.
∵y=lgx在(0,+∞)上是增函数,∴
.
练习册系列答案
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)≥
[f(x1)+f(x2)]，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数。上凸函数有如下的性质：
，
）必在函数y=f(x)的图象下方或图象上。
≥
。
)≥
[f(x1)+f(x2)]，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数。上凸函数有如下的性质：
，
）必在函数y=f(x)的图象下方或图象上。
≥
。