Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，且cosα=

3

5

，sin(α+β)=-

5

13

，求sinβ，cosβ，tanβ的值．

Answer 1

分析：由α和β的范围求出α+β的范围，然后由求出的范围，根据cosα和sin（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和cos（α+β），然后把β变为（α+β）-α，利用两角差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sinβ的值，然后由β的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosβ和tanβ的值．

解答：解：∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，
∴

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∵cosα=

3

5

，sin(α+β)=-

5

13

，
∴sinα=

4

5

，cos(α+β)=-

12

13

，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]
=sin（α+β）•cosα-cos（α+β）•sinα
=-

5

13

×

3

5

-(-

12

13

)×

4

5

=

33

65

，
∴cosβ=-

56

65

，  tanβ=-

33

56

．

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道综合题．