Question

11．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若z=（2cosθ-t-2）²+（$\sqrt{3}$sinθ-t+1）²，求z的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的关系消参数，得出普通方程；
（2）设直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=t-1}\end{array}\right.$（t为参数），则z表示曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，利用距离公式求出距离的最小值即可得出答案．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=t-1}\end{array}\right.$（t为参数），则直线l的普通方程x-y-3=0．
则曲线C上的点到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-\sqrt{3}sinθ-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}cos（θ+φ）-3|}{\sqrt{2}}$．
∴曲线C上的点到直线l的最短距离为d_min=$\frac{3-\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$，d_min²=8-3$\sqrt{7}$．
∴z的取值范围是[8-3$\sqrt{7}$，+∞）．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，距离公式的应用，属于中档题．