Question

已知函数f(x)＝a·2^x＋b·3^x，其中常数a，b满足ab≠0.

(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．

Answer 1

解析：(1)当a>0，b>0时，任意x₁，x₂∈R，x₁<x₂，则

f(x₁)－f(x₂)＝a(2x₁－2x₂)＋b(3x₁－3x₂)．

∵2x₁<2x₂，a>0⇒a(2x₁－2x₂)<0，

3x₁<3x₂，b>0⇒b(3x₁－3x₂)<0，

∴f(x₁)－f(x₂)<0，函数f(x)在R上是增函数．

当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．

(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2^x＋2b·3^x>0.

当a<0，b>0时，>－，则x>log_1.5；

当a>0，b<0时，<－，则x<log_1.5