Question

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．

(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

(2)如何取值时，函数存在零点，并求出零点.

 

Answer 1

（1）或；（2）当时, 函数有一零点；

当()，或（）时，函数有两个零点；

当时，函数有一零点.

【解析】

试题分析：（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．

（2）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x2+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．

试题解析：（1）依题可设 ()，则；

又的图像与直线平行

， ，

设，则

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值

当时， 解得

当时， 解得

（2）由()，得

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，

若，，函数有两个零点，即

；若，，函数有两个零点，即；

当时，方程有一解, ,

函数有一零点

综上，当时, 函数有一零点；

当()，或（）时，

函数有两个零点；

当时，函数有一零点.

考点：１．导数的几何意义；２．利用导数研究函数的极值；３．函数零点与方程根的关系．