Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，为的中点，，，，.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（1）连接BC1交B1C于点E，连接DE，证明DE∥,即可证明∥平面．（2）以CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，直线DC1与平面B1CD所成角为θ，求出平面B1CD的法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．

（Ⅰ）连接交于点，连接，

∵四边形是平行四边形，

∴点是的中点，

又点为的中点，

∴是的中位线，∴.

又DE平面B1CD，AC1平面B1CD，

∴平面.

（Ⅱ）由，，，由余弦定理得可得，

以点为坐标原点，，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，则，，

即，令，得，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.