题目内容
【题目】已知函数f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx．
（1）若y＝f（x）在x＝2处的切线与y垂直，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），令f'（2）＝0，解得a；
（2）
，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），，
∴f'（2）＝0，即
．
（2）∵，
①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴当x＞1时，f（x）＜f（1）＝0矛盾．
②当a＞0时，
，
令f'（x）＞0，得
；f'（x）＜0，得
．
（i）当
，即
时，
时，f'（x）＜0，即f（x）递减，
∴f（x）＜f（1）＝0矛盾．
（ii）当
，即
时，x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）递增，
∴f（x）≥f（1）＝0满足题意．
综上：．
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