Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，

侧面底面， 若.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

解：

（1）因为 ，所以.

又因为侧面底面，且侧面底面，

所以底面.而底面，所以.

在底面中，因为，，所以 ， 所以.    又因为，  所以平面.  6分

（2）法一：设为中点，连结，则 .又因为平面平面，

所以 平面.过作于，连结，则：.

所以是二面角的平面角。

设，则, .

在中，，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为.

法二：由已知，平面，所以为平面的一个法向量.

可求平面的一个法向量为：.

设二面角的大小为，由图可知，为锐角，

所以.

即二面角的余弦值为.