Question

【题目】已知数列的各项均为正数，，其前项和为，且当时，、、构成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，数列的前项和为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1）首先由构成等差数列得到与的关系式，然后利用得到与的关系式，从而证明数列为等差数列，最后求解通项公式；

（2）利用等差数列的前项和公式求出，进而得到表达式，利用对数函数的性质求．

（1）由已知得，当时，构成等差数列，所以，

所以当时，，

两式相减得，

所以，即，

又的各项均为正数，所以，故．

又，即，所以，

从而，

故数列是公差为的等差数列，而，所以；

（2）由（1）知，，

所以，

所以．

当为奇数时，，显然成立；

当为偶数时，，需证．

令，则，

所以在上单调递减，所以，当且仅当时等号成立，

故当为偶数时，．

综上，．