Question

已知点F（6，4）和直线L₁：y=4x，求过P的直线L，使它和L₁以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．

Answer 1

分析：用好三角形面积公式，需要求出另两个点的坐标，利用直线方程求出，再求面积最小值．

解答：解：设l与l₁的交点为Q（x₁，4x₁），（ x₁＞0），则l：y-4=

4x1-4

x1-6

（x-6），令y=0，得x=

5x1

x1-1

，∴l与x轴的交点R（

5x1

x1-1

，0）

∴S_△OQR=

1

2

|y_Q|•|OR|=

1

2

|4x₁|•|

5x1

x1-1

|=

10 x 2 1

x1-1

（其中x₁＞1）．令S=

10 x 2 1

x1-1

，
则10x₁²-sx₁+s=0，∵x₁∈R，∴△=s²-40s≥0．又S＞0，∴s≥40，当s=40时，x₁=2．
∴当x₁=2时，△OQR的面积最小，其值为40，此时l：y-4=

8-4

2-6

（x-6），即x+y-10=0．
故答案为：x+y-10=0．

点评：涉及点斜式方程，求出点的坐标，利用面积最小值，再求方程的思维方式值得学习．