Question

（2012•包头一模）如图椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形OANB是矩形（O为原点），点E，M分别为线段OA，AN的中点．
（Ⅰ）证明：直线DE与直线BM的交点在椭圆C上；
（Ⅱ）若过点E的直线交椭圆于R，S两点，K为R关于x轴的对称点（R，K，E不共线），问：直线KS是否经过x轴上一定点，如果是，求这个定点的坐标，如果不是，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出直线DE、BM的方程，从而可得交点坐标，代入椭圆方程验证即可；
（Ⅱ）确定直线SK的方程，求得y=0时，横坐标为定值，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）证明：由题意，得A(2，0)，B(0，

3

)，D(0，-

3

)，E(1，0)，M(2，

3

2

)，
所以直线DE的方程y=

3

x-

3

，直线BM的方程为y=-

3

4

x+

3

，------（2分）
由

y= 3 x- 3 y=- 3 4 x+ 3

，得

x= 8 5 y= 3 3 5

，
所以直线DE与直线BM的交点坐标为(

8

5

，

3 3

5

)，---------------（4分）
因为

( 8 5 )2

4

+

( 3 3 5 )2

3

=1，所以点(

8

5

，

3 3

5

)在椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1上．---------（6分）
（Ⅱ）设RS的方程为y=k（x-1），代入C：

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），则K（x₁，-y₁），x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
直线SK的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，令y=0，得x=

y1x2+y2x1

y2+y1

，
将y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）代入上式得x=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=4，
所以直线SK经过x轴上的点（4，0）．---------（12分）

点评：本题考查直线方程，考查点与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，确定直线的方程是关键．