Question

（2012•包头一模）在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2，AB=1．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，故BC=

3

，AC=2，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积V．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，由此能证明平面PAC⊥平面AEF．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=

3

，AC=2…（2分）
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，CD=2

3

…（4分）
∵S四边形ABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

，
则V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

…（6分）
证：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD…（7分）
又AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，…（8分）
∵E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD
∴EF⊥平面PAC…（10分），
∵EF?平面AEF，
∴平面PAC⊥平面AEF…（12分）

点评：本题考查棱锥的体积的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．