Question

如图，P是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上的一点，F是椭圆的左焦点，且

OQ

=

1

2

(

OP

+

OF

)，|

OQ

|=4，则点P到该椭圆左准线的距离为

 

．

Answer 1

分析：由

OQ

=

1

2

(

OP

+

OF

)可以推出Q是线段PF的中点，由P在椭圆上及|

OQ

|=4，通过解方程组求得P点横坐标为-

15

4

，再求出到左准线的距离．

解答：解：∵

OQ

=

1

2

(

OP

+

OF

)，
∴Q是线段PF的中点，
∵由P在椭圆上且|

OQ

|=4，设P（a，b），F（-4，0），Q（

a-4

2

，

b

2

），
∴

a2 25 + b2 9 =1 ( a-4 2 )2+ b2 4 =4

，∴a=-

15

4

，
椭圆左准线x=-

25

4

．
∴点P到该椭圆左准线的距离d=(-

15

4

) -(-

25

4

)=

5

2

．
故答案：

5

2

．

点评：该题考查向量的线性表示以及椭圆的几何性质，另外还考查运算能力．是中档题．