Question

（2011•嘉定区三模）如图，已知椭圆

x2

2

+y2=1的左右焦点分别为F₁、F₂，椭圆的下顶点为A，点P是椭圆上任意一点，，圆M是以PF₂为直径的圆．
（1）若圆M过原点O，求圆M的方程；
（2）当圆M的面积为

π

8

时，求PA所在直线的方程；
（3）写出一个定圆的方程，使得无论点P在椭圆的什么位置，该定圆总与圆M相切．请写出你的探究过程．

Answer 1

分析：（1）解法一；因为PF₂为圆M的直径，圆M过原点O，可以判断OP⊥OF₂，求出P点坐标，又因为M为PF₂的中点，可求出M点坐标，以及圆的半径，代入圆的标准方程即可．
解法二：同解法一，可判断OP⊥OF₂，则

OP

•

OF2

=0，利用向量的数量积的坐标表示即可求出P点的坐标，后面同解法一．
（2）根据圆M的面积为

π

8

，求出圆半径r，则|PF₂|=r，据此可求出P点坐标，再结合A点坐标，就可得到PA所在直线的方程．
（3）两圆若始终相切，则圆心距等于半径之和，因为圆M的半径为|MF₂|，所以只需找到一点，是M到这点的距离等于|MF₂|加上一个定值即可．

解答：解：（1）解法一：因为圆M过原点O，所以OP⊥OF₂，
所以P是椭圆的端轴顶点，P的坐标是（0，1）或（0，-1），
于是点M的坐标为(

1

2

 ， 

1

2

)或(

1

2

 ， -

1

2

)，
圆M的方程为(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

或(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．  
解法二：设P（x₁，y₁），因为圆M过原点O，所以OP⊥OF₂，
所以

OP

•

OF2

=0，所以x₁=0，y₁=±1，点P（0，±1）
于是点M的坐标为(

1

2

 ， 

1

2

)或(

1

2

 ， -

1

2

)，
圆M的方程为(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

或(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．   
（2）设圆M的半径为r，由题意，πr2=

π

8

，r=

2

4

，所以|PF2|=

2

2

设P（x₁，y₁），则

(x1-1)2+ y 2 1

=

2

2

．      
联立

(x1-1)2+ y 2 1 = 1 2 x 2 1 2 + y 2 1 =1

，解得x₁=1（x₁=3舍去），
所以点P(1 ， 

2

2

)或P(1 ， -

2

2

)．                      
所以kPA=1+

2

2

或kPA=1-

2

2

，
所以直线PA的方程为y=(1+

2

2

)x-1或y=(1-

2

2

)x-1
注：直线方程也可写成其他形式，如：(2+

2

)x-2y-2=0与(2-

2

)x-2y-2=0等．
（3）以原点为圆心，

2

为半径的定圆始终与圆M相内切．
定圆的方程为x²+y²=2．                  
探究过程为：设圆M的半径为r，定圆的半径为R，
因为|MO|=

1

2

|PF1|=

1

2

(2

2

-|PF2|)=

2

-

1

2

|PF1|=

2

-r，
所以当原点为定圆圆心，半径R=

2

时，定圆始终与圆M相内切．

点评：本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆，圆与圆位置关系的判断．