Question

已知点P（1，3），圆C：（x-m）²+y²=

9

2

过点A（1，-

3 2

2

），F点为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，直线PF与圆相切．
（1）求m的值与抛物线的方程；
（2）设点B（2，5），点 Q为抛物线上的一个动点，求

BP

•

BQ

的取值范围．

Answer 1

（1）点A代入圆C方程，得（1-m）²+（-

3 2

2

）²=

9

2

，解之得m=1．
∴圆C方程为：（x-1）²+y²=

9

2

．
①当直线PF的斜率不存在时，不合题意．
②当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF：y=k（x-1）+3，即kx-y-k+3=0．
∵直线PF与圆C相切，∴C到PF的距离为

|k-0-k+3|

k2+1

=

3 2

2

，解之得k=1或-1．
当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2，不合题意舍去；
当k=-1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，
∴

p

2

=4，可得抛物线方程为y²=16x
（2）∵P（1，3），B（2，5），∴

BP

=(-1，-2)，
设Q（x，y），得

BQ

=(x-2，y-5)
∴

BP

•

BQ

=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12．
=-

1

16

y²-2y+12=-

1

16

（y+16）²+28
∵y∈R，得y=-16时

BP

•

BQ

的最大值等于28
因此，

BP

•

BQ

的取值范围为（-∞，28]．