Question

2．如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边向右上方作等边△ABC．
（1）若∠AOB=θ（单位：rad），分别求出三角形ABC和三角形OAB的面积；
（2）求三角形ABC和三角形OAB的面积之比的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，求出AB的长，代入等边三角形面积公式，可得三角形ABC的面积，根据三角形OAB的面积为：$\frac{1}{2}OA•OB•sin∠AOB$可得三角形OAB的面积；
（2）由（1）得到三角形ABC和三角形OAB的面积之比，根据三角函数的图象和性质，可得其最小值．

解答 解：（1）∵半圆O的直径为2，OA=2，∠AOB=θ，
∴OB=1，
AB=$\sqrt{{OA}^{2}+{OB}^{2}-2OA•OB•cos∠AOB}$=$\sqrt{5-cosθ}$，
则三角形ABC的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}（5-cosθ）$
故三角形OAB的面积为：$\frac{1}{2}OA•OB•sin∠AOB$=sinθ；
（2）由（1）得：三角形ABC和三角形OAB的面积之比k=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}（5-cosθ）}{sinθ}$，
则k′=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}（1-5cosθ）}{si{n}^{2}θ}$，
故当cosθ=$\frac{1}{5}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$时，
k取最小值$\frac{3}{2}\sqrt{2}$

点评 本题考查的知识点是三角形的面积公式，三角函数的最小值，难度中档．