题目内容
直线l与椭圆
交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知
=（ax1，by1），
=（ax2，by2），若
且椭圆的离心率
，又椭圆经过点
，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率
，椭圆经过点
，建立方程组，可求几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）分类讨论，再设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及
，即可得到△AOB的面积为定值．
解答：解：（1）∵椭圆的离心率
，椭圆经过点
，
∴
，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为
…（4分）
（2）三角形的面积为定值1
①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2，
由已知
=0，得
，∴
又A（x1，y1）在椭圆上，所以
，∴
∴
，∴三角形的面积为定值．…（7分）
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+t，联立方程组
，∴（k2+4）x2+2ktx+t2-4=0
△＞0即4k2t2-4（k2+4）（t2-4）＞0，
，
∵
，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，代入整理得：2t2-k2=4
=
所以三角形的面积为定值． …（12分）
点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．
，椭圆经过点，建立方程组，可求几何量，从而可得椭圆的方程；（2）分类讨论，再设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及
，即可得到△AOB的面积为定值．解答：解：（1）∵椭圆的离心率
，椭圆经过点，∴
，∴a=2，b=1∴椭圆的方程为
…（4分）（2）三角形的面积为定值1
①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2，
由已知
=0，得，∴又A（x1，y1）在椭圆上，所以
，∴∴
，∴三角形的面积为定值．…（7分）②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+t，联立方程组
，∴（k2+4）x2+2ktx+t2-4=0△＞0即4k2t2-4（k2+4）（t2-4）＞0，
，∵
，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，代入整理得：2t2-k2=4=所以三角形的面积为定值． …（12分）
点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．
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